(1998年)求直线L：在平面π：x—y+2z一1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

admin2018-07-01 93

问题 (1998年)求直线L：

在平面π：x—y+2z一1=0上的投影直线l₀的方程，并求l₀绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

选项

答案解l 点(1，0，1)在l上，所以该点也在平面π₁上，于是π₁的方程可设为 π₁： A(x一1)+B(y—0)+C(z一1)=0 π₁的法向量应与l的方向向量垂直．又应与平面π的法向量垂直，故有 A+B—C=0；A—B+2C=0 由此解得 A：B：C=一1：3：2，于是π₁的方程为 x一3y一2z+1=0 (*) 从而l₀的方程为 [*] 将l₀写成 [*] 设l₀绕y轴旋转一周所成的曲面为S，点P(x_P，y_P，z_P)∈S，对于固定的y_P=y [*] 去掉下角P，即得S的方程为 4x²一17y²+4z²+2y—1=0 解2 用平面束方程．由于l的方程可写成 [*] 故经过l的平面方程可写成 x—y一1+λ(y+z—1)=0，即 x+(λ一1)y+λz一(λ+1)=0 在其中求出一平面π₁，使它与π垂直，得 1一(λ一1)+2λ=0 解得λ=一2，于是π₁的方程同解1的(*)．以下同解1．解3 平面π₁的法向量既垂直于l的方向向量，又垂直于π的法向量，由叉乘知，π₁的法向量可写为 [*] 由点法式得π₁的方程为(*)．以下同解1。

解析

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考研数学一

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