(1998年)求直线L:在平面π:x—y+2z一1=0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

admin2018-07-01  32

问题 (1998年)求直线L:在平面π:x—y+2z一1=0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

选项

答案解l 点(1,0,1)在l上,所以该点也在平面π1上,于是π1的方程可设为 π1: A(x一1)+B(y—0)+C(z一1)=0 π1的法向量应与l的方向向量垂直.又应与平面π的法向量垂直,故有 A+B—C=0;A—B+2C=0 由此解得 A:B:C=一1:3:2,于是π1的方程为 x一3y一2z+1=0 (*) 从而l0的方程为 [*] 将l0写成 [*] 设l0绕y轴旋转一周所成的曲面为S,点P(xP,yP,zP)∈S,对于固定的yP=y [*] 去掉下角P,即得S的方程为 4x2一17y2+4z2+2y—1=0 解2 用平面束方程.由于l的方程可写成 [*] 故经过l的平面方程可写成 x—y一1+λ(y+z—1)=0, 即 x+(λ一1)y+λz一(λ+1)=0 在其中求出一平面π1,使它与π垂直,得 1一(λ一1)+2λ=0 解得λ=一2,于是π1的方程同解1的(*).以下同解1. 解3 平面π1的法向量既垂直于l的方向向量,又垂直于π的法向量,由叉乘知,π1的法向量可写为 [*] 由点法式得π1的方程为(*).以下同解1。

解析
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