2. 考研
  3. 设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明 (1)A－bE和B－aE都可逆． (2)AB=BA．

设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明 (1)A－bE和B－aE都可逆． (2)AB=BA．

admin2020-03-16  61
问题 设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明
(1)A－bE和B－aE都可逆．
(2)AB=BA．
选项
答案(1)A－bE和B－aE都可逆<=>(A－bE)(B－aE)可逆．直接计算(A－bE)(B－aE)． (A－bE)(B－aE)=AB－aA－bB+abE=abE． 因为ab≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆． (2)利用等式(A－bE)(B－aE)=abE，两边除以ab，得 [*] 再两边乘ab，得(B－aE)(A－bE)=abE，即 BA－aA－bB+abE=abE． BA=aA+bB=AB．
解析
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考研数学二

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