设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明 (1)A－bE和B－aE都可逆． (2)AB=BA．

admin2020-03-16 70

问题设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明
(1)A－bE和B－aE都可逆．
(2)AB=BA．

选项

答案(1)A－bE和B－aE都可逆<=>(A－bE)(B－aE)可逆．直接计算(A－bE)(B－aE)． (A－bE)(B－aE)=AB－aA－bB+abE=abE．因为ab≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆． (2)利用等式(A－bE)(B－aE)=abE，两边除以ab，得 [*] 再两边乘ab，得(B－aE)(A－bE)=abE，即 BA－aA－bB+abE=abE． BA=aA+bB=AB．

解析

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