设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？

admin2022-06-19 70

问题设A为三阶矩阵，α₁ ，α₂ ，α₃为三维线性无关列向量组，且有Aα₁=α₂+α₃ ，Aα₂一α₃+α₁ ，Aα₃=α₁+α₂．
(1)求A的全部特征值；
(2)A是否可对角化？

选项

答案利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出A的全部特征值及三个线性无关的特征向量． (1)由题设知，A(α₁+α₂+α₃)=2(α₁+α₂+α₃)， A(α₂一α₁)=Aα₂一Aα₁=α₃+α₁一(α₂+α₃)=一(α₂一α₁)， A (α₃一α₁)=Aα₃一Aα₁=α₁+α₂一(α₂+α₃)=一(α₃一α₁)．又因为α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，所以 α₁+α₂+α₃≠0，α₂一α₁≠0，α₃一α₁≠0．可得一1，2是A的特征值；α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂+α₃是相应的特征向量．又由α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，得α₂一α₁ ，α₃一α₁也线性无关，所以一1是A的二重特征值，即 A的全部特征值为一1，一1，2． (2)由α₁ ，α₂ ，α₃线性无关可证明α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂+α₃线性无关，事实上，由矩阵表示法： [α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂+α₃]=[α₁ ，α₂ ，α₃][*] 而α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，右边的三阶行列式不等于0，其矩阵可逆，故 α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂ α₃ 线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，故矩阵A为可对角化．

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？

考研数学三

aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_，｜B｜=_．

向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．

在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为()．

如图，C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P分别引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=x2，求曲线C2的方程．

级数的收敛域为_，和函数为___．

求y’’-2y’-e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

微分方程xy’-y[ln(xy)-1]=0的通解为______．

求微分方程的通解．

连续函数f(x)满足f(x)=3∫0xf(x-t)dt+2，则f(x)=________．

依据《联合国国际货物销售合同公约》的相关规定，以下有关保全货物义务的表述中，正确的是()。

[2009年第40题]屋面涂膜防水层的最小平均厚度不应小于设计厚度的：

下列哪一点不是拟静力试验的优点?()[2013年真题]

根据证券自营业务的操作管理要求,应建立健全自营业务数据资料备份制度,并由专人负责管理。()

增值税使得绝大部分货物的税负相同，而且同一货物在经历的所有生产和流通的各环节的整体税负也是相同的，这是()特征的表现。

因为安全边际是正常销售额超过盈亏临界点销售额的差额，并表明销售额下降多少企业仍不至于亏损，所以安全边际部分的销售额也就是企业的利润。()

企业购入不需要安装的生产设备，购买价款超过正常信用条件延期支付，实质具有融资性质的，应当以购买价款的现值为基础确定其成本。()

童话《四季的风》通过描写富有同情心的“风”在春夏秋冬四季照顾和安慰一个长期卧病的苦孩子来赞扬人与人之间的友谊和爱，它的作者是()。

AbrahamLincolnturns200thisyear,andhe’sbeginningtoshowhisage.Whenhisbirthdayarrives,onFebruary12,Congresswil

设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I==________．

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设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_______，｜B｜=_______．

向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．

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级数的收敛域为_______，和函数为_________．

求y’’-2y’-e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

微分方程xy’-y[ln(xy)-1]=0的通解为______．

求微分方程的通解．

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依据《联合国国际货物销售合同公约》的相关规定，以下有关保全货物义务的表述中，正确的是()。

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设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I==________．

设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_，｜B｜=_．

级数的收敛域为_，和函数为___．