设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？

admin2022-06-19 64

问题设A为三阶矩阵，α₁ ，α₂ ，α₃为三维线性无关列向量组，且有Aα₁=α₂+α₃ ，Aα₂一α₃+α₁ ，Aα₃=α₁+α₂．
(1)求A的全部特征值；
(2)A是否可对角化？

选项

答案利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出A的全部特征值及三个线性无关的特征向量． (1)由题设知，A(α₁+α₂+α₃)=2(α₁+α₂+α₃)， A(α₂一α₁)=Aα₂一Aα₁=α₃+α₁一(α₂+α₃)=一(α₂一α₁)， A (α₃一α₁)=Aα₃一Aα₁=α₁+α₂一(α₂+α₃)=一(α₃一α₁)．又因为α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，所以 α₁+α₂+α₃≠0，α₂一α₁≠0，α₃一α₁≠0．可得一1，2是A的特征值；α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂+α₃是相应的特征向量．又由α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，得α₂一α₁ ，α₃一α₁也线性无关，所以一1是A的二重特征值，即 A的全部特征值为一1，一1，2． (2)由α₁ ，α₂ ，α₃线性无关可证明α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂+α₃线性无关，事实上，由矩阵表示法： [α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂+α₃]=[α₁ ，α₂ ，α₃][*] 而α₁ ，α₂ ，α₃线性无关，右边的三阶行列式不等于0，其矩阵可逆，故 α₂一α₁ ，α₃一α₁ ，α₁+α₂ α₃ 线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，故矩阵A为可对角化．

解析

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考研数学三

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