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设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？
设A为三阶矩阵，α1 ，α2 ，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3 ，Aα2一α3+α1 ，Aα3=α1+α2． (1)求A的全部特征值； (2)A是否可对角化？
admin
2022-06-19
76
问题
设A为三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
为三维线性无关列向量组，且有Aα
1
=α
2
+α
3
，Aα
2
一α
3
+α
1
，Aα
3
=α
1
+α
2
．
(1)求A的全部特征值；
(2)A是否可对角化？
选项
答案
利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出A的全部特征值及三个线性无关的特征向量． (1)由题设知，A(α
1
+α
2
+α
3
)=2(α
1
+α
2
+α
3
)， A(α
2
一α
1
)=Aα
2
一Aα
1
=α
3
+α
1
一(α
2
+α
3
)=一(α
2
一α
1
)， A (α
3
一α
1
)=Aα
3
一Aα
1
=α
1
+α
2
一(α
2
+α
3
)=一(α
3
一α
1
)． 又因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以 α
1
+α
2
+α
3
≠0，α
2
一α
1
≠0，α
3
一α
1
≠0． 可得一1，2是A的特征值；α
2
一α
1
，α
3
一α
1
，α
1
+α
2
+α
3
是相应的特征向量． 又由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，得α
2
一α
1
，α
3
一α
1
也线性无关，所以一1是A的二重特征值，即 A的全部特征值为一1，一1，2． (2)由α
1
，α
2
，α
3
线性无关可证明α
2
一α
1
，α
3
一α
1
，α
1
+α
2
+α
3
线性无关， 事实上，由矩阵表示法： [α
2
一α
1
，α
3
一α
1
，α
1
+α
2
+α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
][*] 而α
1
，α
2
，α
3
线性无关，右边的三阶行列式不等于0，其矩阵可逆，故 α
2
一α
1
，α
3
一α
1
，α
1
+α
2
α
3
线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，故矩阵A为可对角化．
解析
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考研数学三
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