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  3. 设ξ0＝(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解向量，试求： (I)方程组(*)的全部解； (Ⅱ)方程组(*)的解中满足x2＝x3的全部解．

设ξ0＝(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解向量，试求： (I)方程组(*)的全部解； (Ⅱ)方程组(*)的解中满足x2＝x3的全部解．

admin2018-12-21  98
问题 设ξ0＝(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解向量，试求：
(I)方程组(*)的全部解；
(Ⅱ)方程组(*)的解中满足x2＝x3的全部解．
选项
答案(I)将ξ0代入方程组，得－λ﹢μ＝0，即λ＝μ代入增广矩阵，并作初等行变换，有 [*] 当λ≠2时，r(A)＝r(A[*]b)＝3． Ax＝0有基础解系ξ＝(－2，1，－1，2)T，Ax＝b有特解η＝(－1，0，0，1)T，Ax＝b的通解为 kξ﹢η＝k(2，1，－1，2)T﹢(－1，0，0，1)T ＝(－2k－1，k，－k，2k﹢1)T， 其中k是任意常数． 当λ＝2时，r(A)＝r(A[*]b)＝2． Ax＝0有基础解系ξ1＝(－4，1，0，2)T，ξ2＝(－2，0，1，0)T，Ax＝b有特解η2＝(－1，0，0，1)T， Ax＝b的通解为 k1ξ1﹢k2ξ2﹢η0＝k1(－4，1，0，2)T﹢k2(－2，0，1，0)T﹢(－1，0，0，1)T ＝(－4k1－2k2－1，k1，k2，2k1﹢1)T， 其中k1，k2是任意常数． (Ⅱ)当λ≠2时，由x2＝x3，有志k＝－k，得k＝0．故满足x2＝x3的全部解为(－1，0，0，1)T． 当λ＝2时，由x2＝x3，有k1＝k2． 故满足x2＝x3的全部解为(－6k1，－1，k1，k1，2k1﹢1)T，其中k1是任意常数．
解析
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考研数学二

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