2. 考研
  3. 已知矩阵A= (1)求A99． (2)设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B=(β1，β2，β3)将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

已知矩阵A= (1)求A99． (2)设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B=(β1，β2，β3)将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

admin2020-09-25  91
问题 已知矩阵A=
  (1)求A99．
  (2)设3阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B=(β1，β2，β3)将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
选项
答案(1)利用相似对角化求解． 由|λE一A|=0，可得A的特征值为λ1=0，λ2=-1，λ3=一2，故A～∧=[*] ①当λ1=0时，由(0E—A)x=0，解出此时A的属于特征值λ1=0的特征向量为γ1=[*] ②当λ2=一1时，由(-E一A)x=0，解出此时A的属于特征值λ2=一1的特征向量为γ2=[*] ③当λ3=一2时，由(-2E—A)x=0，解出此时A的属于特征值λ3=一2的特征向量为γ3=[*] 令P=(γ1，γ2，γ3)=[*]，由P-1AP=A=[*]可得A=PAP-1，A99=PA99P-1． [*] (2)B2=BA[*]B3=BBA=B2A=BAA=BA2[*]B100=BA99，由于B=(α1，α2，α3)，B100=(β1，β2，β3)故 (β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A99 [*] 因此，β1=(一2+299)α1+(一2+2100)α2，β2=(1—299)α1+(1—2100)α2，β3=(2—298)α1+(2—299)α2．
解析
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考研数学三

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