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  3. 已知齐次线性方程组 同解，求a，b，c的值．

已知齐次线性方程组 同解，求a，b，c的值．

admin2019-05-10  50
问题 已知齐次线性方程组

同解，求a，b，c的值．
选项
答案由方程组(Ⅱ)有非零解，得到方程组(I)也有非零解，因而方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3(或方程组(Ⅰ)的系数行列式等于零)，由此先求出参数“及其基础解系． 这是求解本题的关键，然后将方程组(Ⅰ)的解代入方程组(Ⅱ)中就可求出其他待定常数． 方程组(Ⅱ)的未知数的个数大于方程的个数，故必有无穷多解，因而必有基础解系．于是方程组(I)也有无穷多解，则方程组(I)的系数矩阵的秩必小于3，由此可确定a．而方程组(I)的系数矩阵 [*] 因秩(A)＜3，从而a=2，且α=[一1，一1，1]T为方程组(Ⅰ)的一个基础解系．它当然也是组(Ⅱ)的解． 将x1=一l，x2=一l，x3=1代入方程组(Ⅱ)可求得b=1， c=2 或 b=0， c=1． 当b=1，c=2时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵化为[*]，其基础解系也只含一个解向量α=[一1，一1，1]T，故方程组(I)与(Ⅱ)同解． 当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可化为[*]，其基础解系含两个解向量，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不同，因而它们不同解，故当a=2，b=1，c=2时，两方程组同解．因此，所求的常数为a=2，b=1，c=2．
解析
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考研数学二

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