已知齐次线性方程组 同解,求a,b,c的值.

admin2019-05-10  41

问题 已知齐次线性方程组

同解,求a,b,c的值.

选项

答案由方程组(Ⅱ)有非零解,得到方程组(I)也有非零解,因而方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3(或方程组(Ⅰ)的系数行列式等于零),由此先求出参数“及其基础解系. 这是求解本题的关键,然后将方程组(Ⅰ)的解代入方程组(Ⅱ)中就可求出其他待定常数. 方程组(Ⅱ)的未知数的个数大于方程的个数,故必有无穷多解,因而必有基础解系.于是方程组(I)也有无穷多解,则方程组(I)的系数矩阵的秩必小于3,由此可确定a.而方程组(I)的系数矩阵 [*] 因秩(A)<3,从而a=2,且α=[一1,一1,1]T为方程组(Ⅰ)的一个基础解系.它当然也是组(Ⅱ)的解. 将x1=一l,x2=一l,x3=1代入方程组(Ⅱ)可求得b=1, c=2 或 b=0, c=1. 当b=1,c=2时,方程组(Ⅱ)的系数矩阵化为[*],其基础解系也只含一个解向量α=[一1,一1,1]T,故方程组(I)与(Ⅱ)同解. 当b=0,c=1时,方程组(Ⅱ)的系数矩阵可化为[*],其基础解系含两个解向量,方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不同,因而它们不同解,故当a=2,b=1,c=2时,两方程组同解.因此,所求的常数为a=2,b=1,c=2.

解析
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