若T是线性空间V中的线性变换，并且Tm-1α≠0，Tmα=0．证明：α，Tα，…，Tm-1α线性无关．

admin2020-09-25 58

问题若T是线性空间V中的线性变换，并且T^m-1α≠0，T^mα=0．证明：α，Tα，…，T^m-1α线性无关．

选项

答案设有关系式l₁α+l₂Tα+…+l_mT^m-1α=0，用T^m-1作用关系式两端，则 T^m-1(l₁α+l₂Tα+…+l_mT^m-1α)=0，即l₁T^m-1α+l₂T^mα+…+l_mT^2m-2α=0．由于T^mα=0，所以l₁T^m-1α=0，而T^m-1α≠0，从而可得l₁=0．同理可得：l₂=0，…，l_m=0，所以α，α，…，T^m-1α线性无关．

解析

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