设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3 满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2013-04-04 49

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α₃ 满足Aα₃=α₂+α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案由特征值特征向量定义有：Aα₁=-α₁，Aα₂=α₂ 设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃ ① 用A乘①得：k₁α₁+k₂α₂+k₃(α₂+α₃)． ② ①-②得：2k₁α₁-k₃α₂=0． ③ 因为α₁，α₂是矩阵A不同特征值的特征向量，α₁，α₂线性无关，所以k₁=0，k₃=0. 代入①有k₂α₂=0．因为α₂是特征向量，k₂≠0，故k₂=0．从而α₁，α₂，α₃线性无关.

解析

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