(1)验证函数(一∞＜x＜+∞)满足微分方程 y”+y’+y=ex； (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

admin2016-01-11 73

问题 (1)验证函数

(一∞＜x＜+∞)满足微分方程
y”+y’+y=e^x；
(2)利用(1)的结果求幂级数

的和函数．

选项

答案(1)先验证该幂级数的收敛区间是(一∞，+∞)．这是缺项的幂级数，令t=x³，则 [*] t∈(一∞，+∞)，从而x∈(一∞，+∞)时，原级数收敛．其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导． [*] (2)因为幂级数[*]的和函数y(x)满足微分方程 y”+y’+y=e^x．又y(0)=1，y’(0)=0，所以为求y(x)只须解上述二阶常系数线性微分方程的初值问题。微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ²+λ+1=0．特征根[*]通解为 [*] 设非齐次线性方程的一个特解为y*=Ae^x，代入方程得[*]所以，非齐次线性方程的通解为 [*] 由初始条件，得 [*]

解析

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考研数学二

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(1)验证函数(一∞＜x＜+∞)满足微分方程 y”+y’+y=ex； (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

考研数学二

设an=∫0+∞xnexdx(n=0，1，2，…)．求的收敛域及和函数．

以y=C1+e-3x(C2cos2x+C3sin2x)为通解的常系数齐次线性微分方程可以为()

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．若α=(1，2，-1)T，求Aα；

利用变换x=-㏑t将微分方程d2y／dx2＋dy／dx＋e-2xy-e-3x化简为y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解y(x)；

设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY·X与Z是否相关?并说明理由．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的负惯性指数q=2，r(A)=3，且A2-2A-3E=0，A为实对称矩阵，则二次型在正交变换x=Qy下的标准形为()

设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1，证明：(1)存在x1∈[0，1]，使得｜f(x1)｜＞4；(2)存在x2∈[0，1]，使得｜f(x2)｜=4．

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+．

下列矩阵中属干正定矩阵的是

下列选项中与机械特性硬度无关的是【】

Windows中最小化窗口与关闭窗口之间的区别是()。

朱砂安神丸组成中不含有的药物是()

施工承包人为了避免停工待料，不得不以较高价格紧急采购因供货方不能供应部分的货物而受到的价差损失应由()承担。

()已成为国际通用的银行业风险收益评价方法。

下列有关注册会计师的专家的说法中，正确的是()。

皮亚杰所划分的认知发展阶段中7一12岁属于()。

互相结合的原则是为了完成某项任务，需要地方公安机关、地方政府共同领导、共同部署的原则。(　　)

明朝初年强化君主专制的措施是()。

(1)验证函数(一∞＜x＜+∞)满足微分方程 y”+y’+y=ex； (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．

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设an=∫0+∞xnexdx(n=0，1，2，…)．求的收敛域及和函数．

以y=C1+e-3x(C2cos2x+C3sin2x)为通解的常系数齐次线性微分方程可以为()

设A为3阶实对称矩阵，β=(3，3，3)T，方程组Ax=β的通解为k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T+(1，1，1)T(k1，k2为任意常数)．若α=(1，2，-1)T，求Aα；

利用变换x=-㏑t将微分方程d2y／dx2＋dy／dx＋e-2xy-e-3x化简为y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解y(x)；

设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY·X与Z是否相关?并说明理由．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的负惯性指数q=2，r(A)=3，且A2-2A-3E=0，A为实对称矩阵，则二次型在正交变换x=Qy下的标准形为()

设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1，证明：(1)存在x1∈[0，1]，使得｜f(x1)｜＞4；(2)存在x2∈[0，1]，使得｜f(x2)｜=4．

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为常数，证明：对任意0＜x＜1有｜f’(x)｜≤2a+．

下列矩阵中属干正定矩阵的是

下列选项中与机械特性硬度无关的是【】

Windows中最小化窗口与关闭窗口之间的区别是()。

朱砂安神丸组成中不含有的药物是()

施工承包人为了避免停工待料，不得不以较高价格紧急采购因供货方不能供应部分的货物而受到的价差损失应由()承担。

()已成为国际通用的银行业风险收益评价方法。

下列有关注册会计师的专家的说法中，正确的是()。

皮亚杰所划分的认知发展阶段中7一12岁属于()。

互相结合的原则是为了完成某项任务，需要地方公安机关、地方政府共同领导、共同部署的原则。( )

明朝初年强化君主专制的措施是()。

互相结合的原则是为了完成某项任务，需要地方公安机关、地方政府共同领导、共同部署的原则。(　　)