2. 考研
  3. 设有向量组A：及向量b＝，问α，β为何值时： (1)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一； (2)向量b不能由向量组A线性表示； (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式．

设有向量组A：及向量b＝，问α，β为何值时： (1)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一； (2)向量b不能由向量组A线性表示； (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式．

admin2016-05-09  15
问题 设有向量组A：及向量b＝，问α，β为何值时：
    (1)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一；
    (2)向量b不能由向量组A线性表示；
    (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式．
选项
答案记矩阵A＝(a1，a2，a3)，那么方程Aχ＝b有解的充要条件为易可由向量组A线性表示． (1)当方程Aχ＝b的系数行列式 [*] 即当α≠－4时，方程有唯一解，从而向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一． (2)当α＝－4时，增广矩阵 [*] 于是当α＝－4，β≠0时，方程Aχ＝b无解，从而向量b不能由向量A线性表示． (3)当α＝－4，β＝0时， [*] r(A)＝r(A，b)＝2＜3，方程Aχ＝b有无穷多解，从而α＝－4，β＝0时，向量b可由向量组A线性表示，且表示式不唯一． 因为方程Aχ＝b的通解为 [*] 故b由向量组A线性表示的一般表达式为 b＝Aχ＝(a1，a2，a3)[*] ＝ca1－(2c＋1)a2＋a3，c∈R．
解析
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考研数学一

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