设有向量组A：及向量b＝，问α，β为何值时： (1)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一； (2)向量b不能由向量组A线性表示； (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式．

admin2016-05-09 18

问题设有向量组A：

及向量b＝

，问α，β为何值时：
(1)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一；
(2)向量b不能由向量组A线性表示；
(3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式．

选项

答案记矩阵A＝(a₁，a₂，a₃)，那么方程Aχ＝b有解的充要条件为易可由向量组A线性表示． (1)当方程Aχ＝b的系数行列式 [*] 即当α≠－4时，方程有唯一解，从而向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一． (2)当α＝－4时，增广矩阵 [*] 于是当α＝－4，β≠0时，方程Aχ＝b无解，从而向量b不能由向量A线性表示． (3)当α＝－4，β＝0时， [*] r(A)＝r(A，b)＝2＜3，方程Aχ＝b有无穷多解，从而α＝－4，β＝0时，向量b可由向量组A线性表示，且表示式不唯一．因为方程Aχ＝b的通解为 [*] 故b由向量组A线性表示的一般表达式为 b＝Aχ＝(a₁，a₂，a₃)[*] ＝ca₁－(2c＋1)a₂＋a₃，c∈R．

解析

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设有向量组A：及向量b＝，问α，β为何值时： (1)向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一； (2)向量b不能由向量组A线性表示； (3)向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式．

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