已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解. (1)证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. (2)求a,b的值和方程组的通解.

admin2018-11-23  59

问题 已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.
    (1)证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
    (2)求a,b的值和方程组的通解.

选项

答案(1)设α1,α2,α3是AX=β的3个线性无关的解,则,α2-α1,α3-α1是AX=0的2个线性无关的解.于是AX=0的解集合的秩不小于2,即4-r(A)≥2,r(A)≤2, 又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)≥2. 两个不等式说明了r(A)=2. [*] 由r(A)=2,得出a=2,b=-3. 代入后继续作初等行变换化为简单阶梯形矩阵: [*] 得同解方程组 [*] 求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,c1,c2,任意.

解析
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