设矩阵A与B相似,其中 (1)求x和y的值; (2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.

admin2018-07-26  35

问题 设矩阵A与B相似,其中

(1)求x和y的值;
(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B.

选项

答案(1)因为A与B相似,故它们的特征多项式相同,即|λI-A|=|λI-B|,得 (λ+2)[λ2-(x+1)λ+(x-2)]≡(λ+1)(λ-2)(λ-y) 令λ=0,得2(x-2)=2y,可见y=x-2;令λ=1,得y=-2,从而x=0. 或由A与对角阵B相似知A的全部特征值为:-1,2,y.将λ=-1代入A的特征方程,有 [*] 故x=0,再由特征值的性质,有-1+2+y=-2+x+1=-2+0+1=-1,得y=-2. (2)由(1)知 [*] 且A的全部特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=-2,计算可得对应的特征向量分别可取为 ξ1=(0,2,-1)T,ξ2=(0,1,1)T,ξ3=(1,0,-1)T 故可逆矩阵 P=[ξ1 ξ2 ξ3] [*] 满足P-1AP=B.

解析
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