已知y1=xex+e2x,y2=xex一e-x,y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解,求此微分方程。

admin2018-05-25  23

问题 已知y1=xex+e2x,y2=xex一e-x,y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解,求此微分方程。

选项

答案因y1,y3线性无关,则y3一y1=e-x为对应齐次方程的解,那么y2+e-x=xex为非齐次解, 而y0—xex=e2x为齐次解。 则齐次方程的特征方程为(λ+1)(λ一2)=0,即λ2一λ一2=0。故齐次方程为y"一y一2y=0。 设所求的二阶线性非齐次方程为y"一y’一2y=f(x)。 将y=xex,y’=ex+xex及y"=2ex+xex代入该方程得f(x)=ex(1—2x)。 故所求方程为y"一y’一2y=ex(1—2x)。

解析
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