已知y1=xex+e2x，y2=xex一e-x，y3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。

admin2018-05-25 48

问题已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x一e^-x，y₃=xe^x+e^2x+e^-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程。

选项

答案因y₁，y₃线性无关，则y₃一y₁=e^-x为对应齐次方程的解，那么y₂+e^-x=xe^x为非齐次解，而y₀—xe^x=e^2x为齐次解。则齐次方程的特征方程为(λ+1)(λ一2)=0，即λ²一λ一2=0。故齐次方程为y"一y一2y=0。设所求的二阶线性非齐次方程为y"一y’一2y=f(x)。将y=xe^x，y’=e^x+xe^x及y"=2e^x+xe^x代入该方程得f(x)=e^x(1—2x)。故所求方程为y"一y’一2y=e^x(1—2x)。

解析

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考研数学一

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