设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aa1=α1+α2+α3,Aa2=2α2+α3,Aa3=2α2+3α3. (1)求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2)求A的特征值.

admin2018-11-11  35

问题 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足
    Aa1=α1+α2+α3,Aa2=2α2+α3,Aa3=2α2+3α3
    (1)求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B.
    (2)求A的特征值.
    (3)求作可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.

选项

答案(1)根据题意得,B=[*] (2)由于α1,α2,α3线性无关,(α1,α2,α3)是可逆矩阵,并且(α1,α2,α3)-1A(α1,α2,α3)=B,因此A和B相似,特征值相同. |λ-B|=[*]=(λ-1)(λ2-5λ+4)=(λ-1)2(λ-4). B的特征值为1,1,4.A的特征值也为1,1,4 (3)先把B对角化.求出B的属于1的两个无关的特征向量(1,-1,0)T,(0,2,-1)T;求出B的属于4的一个特征向量(0,1,1)T.构造矩阵 [*] 令P=(α1,α2,α3)D=(α1-α2,2α2-α3,α2+α3),则 p-1AP=D-11,α2,α3)-1A(α1,α2,α3)D=D-1BD=[*]

解析
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