2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aa1＝α1＋α2＋α3，Aa2＝2α2＋α3，Aa3＝2α2＋3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aa1＝α1＋α2＋α3，Aa2＝2α2＋α3，Aa3＝2α2＋3α3． (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B． (2)求A的特征值．

admin2018-11-11  51
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足
    Aa1＝α1＋α2＋α3，Aa2＝2α2＋α3，Aa3＝2α2＋3α3．
    (1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B．
    (2)求A的特征值．
    (3)求作可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)根据题意得，B＝[*] (2)由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是可逆矩阵，并且(α1，α2，α3)-1A(α1，α2，α3)＝B，因此A和B相似，特征值相同． ｜λ－B｜＝[*]＝(λ－1)(λ2－5λ＋4)＝(λ－1)2(λ－4)． B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 (3)先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，－1，0)T，(0，2，－1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵 [*] 令P＝(α1，α2，α3)D＝(α1－α2，2α2－α3，α2＋α3)，则 p-1AP＝D-1(α1，α2，α3)-1A(α1，α2，α3)D＝D-1BD＝[*]
解析
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考研数学二

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