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[2006年] 在xOy坐标平面上,连续曲线l过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0). 求l的方程;
[2006年] 在xOy坐标平面上,连续曲线l过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0). 求l的方程;
admin
2019-03-30
41
问题
[2006年] 在xOy坐标平面上,连续曲线l过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0).
求l的方程;
选项
答案
解一 设曲线l的方程为y=f(x),则由题设得到y’-y/x=ax①.下面用凑导数法求解此方程.因y’+(-lnx)’y=ax,在其两边乘以e
-lnx
,得到 e
-lnx
y’+e
-lnx
(-lnx)’y=e
-lnx
·ax=a, 即 (e
-lnx
y)’=a, 两边积分得到 e
-lnx
y=ax+C, 即 y=ax
2
+Cx. 由y(1)=0得到a+C=0,即C=-a,故y=ax
2
-ax. 解二 由题设,有y’-y/x=ax.由此得到 [*] 故 y/x=ax+C, 即 y=ax
2
+Cx. 又由y(1)=0得到a+C=0,即C=-a,所以y=ax
2
-ax. 解三 由一阶线性微分方程的通解公式求之,其中P(x)=-1/x,Q(x)=ax,代入得到 [*] 又由y(1)=0得到C=-a,故曲线l的方程为y=ax
2
-ax.
解析
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考研数学三
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