2. 考研
  3. [2006年] 在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)． 求l的方程；

[2006年] 在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)． 求l的方程；

admin2019-03-30  73
问题 [2006年]  在xOy坐标平面上，连续曲线l过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)．
求l的方程；
选项
答案解一 设曲线l的方程为y=f(x)，则由题设得到y’－y／x=ax①．下面用凑导数法求解此方程．因y’+(－lnx)’y=ax，在其两边乘以e－lnx，得到 e-lnxy’+e－lnx(－lnx)’y=e－lnx·ax=a， 即 (e－lnxy)’=a， 两边积分得到 e-lnxy=ax+C， 即 y=ax2+Cx． 由y(1)=0得到a+C=0，即C=－a，故y=ax2－ax． 解二 由题设，有y’－y／x=ax．由此得到 [*] 故 y／x=ax+C， 即 y=ax2+Cx． 又由y(1)=0得到a+C=0，即C=－a，所以y=ax2－ax． 解三 由一阶线性微分方程的通解公式求之，其中P(x)=－1／x，Q(x)=ax，代入得到 [*] 又由y(1)=0得到C=－a，故曲线l的方程为y=ax2－ax．
解析
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考研数学三

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