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设f(x)连续,F(x)=∫0sinxf(tx2)dt。 (Ⅰ)求F’(x); (Ⅱ)试讨论函数F’(x)的连续性。
设f(x)连续,F(x)=∫0sinxf(tx2)dt。 (Ⅰ)求F’(x); (Ⅱ)试讨论函数F’(x)的连续性。
admin
2019-05-14
50
问题
设f(x)连续,F(x)=∫
0
sinx
f(tx
2
)dt。
(Ⅰ)求F’(x);
(Ⅱ)试讨论函数F’(x)的连续性。
选项
答案
(Ⅰ)设u=tx
2
,则dt=[*]du。当x≠0时,有 [*] 当x=0时,由题设F(0)=0,根据导数定义,并结合洛必达法则及等价无穷小代换 [*] (Ⅱ)当x≠0时,可知F’(x)连续。由(Ⅰ)中求解过程可知 [*] 又[*](x
2
sinx)(2sinx+xcosx)=f(0)(2+1)=3f(0),于是[*]F’(x)=一2f(0)+3f(0)=f(0)=F’(0)。 即F’(x)在x=0处连续,从而F’(x)是连续函数。
解析
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考研数学一
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