设f(x)连续，F(x)=∫0sinxf(tx2)dt。 (Ⅰ)求F’(x)； (Ⅱ)试讨论函数F’(x)的连续性。

admin2019-05-14 46

问题设f(x)连续，F(x)=∫₀^sinxf(tx²)dt。
(Ⅰ)求F’(x)；
(Ⅱ)试讨论函数F’(x)的连续性。

选项

答案(Ⅰ)设u=tx²，则dt=[*]du。当x≠0时，有 [*] 当x=0时，由题设F(0)=0，根据导数定义，并结合洛必达法则及等价无穷小代换 [*] (Ⅱ)当x≠0时，可知F’(x)连续。由(Ⅰ)中求解过程可知 [*] 又[*](x²sinx)(2sinx+xcosx)=f(0)(2+1)=3f(0)，于是[*]F’(x)=一2f(0)+3f(0)=f(0)=F’(0)。即F’(x)在x=0处连续，从而F’(x)是连续函数。

解析

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