设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量X＝X＋Y，X2＝X－Y，已知(X1，X2)的概率密度函数为 f(χ1，χ2)＝ (Ⅰ)求X与Y的边缘概率密度； (Ⅱ)计算X与Y的相关系数ρXY．

admin2018-06-12 70

问题设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量X＝X＋Y，X₂＝X－Y，已知(X₁，X₂)的概率密度函数为
f(χ₁，χ₂)＝

(Ⅰ)求X与Y的边缘概率密度；
(Ⅱ)计算X与Y的相关系数ρ_XY．

选项

答案(Ⅰ)从(X₁，X₂)的概率密度函数可知(X₁，X₂)服从二维正态分布，且μ₁＝4，μ₂＝2，σ₁＝[*]，σ₂＝1，[*]＝0．根据二维正态分布的性质[*]＝0[*]X₁与X₂独立．而且X₁与X₂的线性函数X，Y都服从正态分布．依题设 [*] EX＝[*](EX₁＋EX₂)＝3，DX＝[*](DX₁＋DX₂)＝1； EY＝[*](EX₁－EX₂)＝1，DY＝[*](DX₁＋DX₂)＝1．于是有X～N(3，1)，Y～N(1，1)，其边缘概率密度分别为 [*]

解析

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考研数学一

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设(X，Y)是二维随机变量，且随机变量X＝X＋Y，X2＝X－Y，已知(X1，X2)的概率密度函数为 f(χ1，χ2)＝ (Ⅰ)求X与Y的边缘概率密度； (Ⅱ)计算X与Y的相关系数ρXY．

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