若f"(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x2＋y2＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内

admin2014-01-26 36

问题若f"(x)不变号，且曲线y＝f(x)存点(1，1)处的曲率圆为x²＋y²＝2，则函数f(x)在区间(1，2)内

选项 A、有极值点，无零点．
B、无极值点，有零点．
C、有极值点，有零点．
D、无极值点，无零点．

答案B

解析 [详解]由题意可知，f(x)是一个凸函数，即f"(x)＜0，
且在点(1，1)处的曲率

而f’(1)＝－1，由此可得，f"(1)＝－2，
在[1，2]上，f’(x)≤f’(1)＝－1＜0，即f(x)单调减少，没有极值点．
南拉格朗日中值定理f(2)－f(1)＝f’(ε)＜－1，ε∈(1，2)．
所以f(2)＜0，而f(1)＝1＞0，由零点定理知，在(1，2)内f(x)有零点，故应选(B)．
[评注]此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握．

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考研数学二

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