设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1－2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．

admin2018-01-23 17

问题设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明：
(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1－2c；
(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．

选项

答案(1)令φ(x)＝f(x)－1＋2x，φ(0)＝－1，φ(1)＝2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在 c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，于是f(c)＝1－2c． (2)因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)＋f(1)＋3f(2)≤6M得m≤[*]≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得[*]＝f(ξ)，于是2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．

解析

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考研数学三

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