设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c; (2)存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).

admin2018-01-23  18

问题 设f(x)在[0,2]上连续,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(1)存在c∈(0,1),使得f(c)=1-2c;
(2)存在ξ∈[0,2],使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).

选项

答案(1)令φ(x)=f(x)-1+2x,φ(0)=-1,φ(1)=2,因为φ(0)φ(1)<0,所以存在 c∈(0,1),使得φ(c)=0,于是f(c)=1-2c. (2)因为f(x)∈C[0,2],所以f(x)在[0,2]上取到最小值m和最大值M, 由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤[*]≤M, 由介值定理,存在ξ∈[0,2],使得[*]=f(ξ), 于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ).

解析
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