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设n阶矩阵A的伴随阵为A*,证明: (1)若|A|=0,则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1.
设n阶矩阵A的伴随阵为A*,证明: (1)若|A|=0,则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1.
admin
2019-01-23
43
问题
设n阶矩阵A的伴随阵为A
*
,证明:
(1)若|A|=0,则|A
*
|=0;
(2)|A
*
|=|A|
n-1
.
选项
答案
(1)(反证法)假设|A
*
|≠0,由矩阵可逆的充分必要条件可知A
*
是可逆矩阵,则有 A
*
(A
*
)
-1
=E,又因为A
*
=A
-1
|A|,这里|A|≠0,由此得 A=AE=AA
*
(A
*
)
-1
=|A|E(A
*
)
-1
=0, 所以A
*
=0.这与|A
*
|≠0矛盾,故当|A|=0时,有|A
*
|=0. (2)由于AA
*
=|A|E,两端同时取行列式得 |A||A
*
|=|A|
n
. 当|A|≠0时,|A
*
|=|A|
n-1
;当|A|=0时,|A
*
|=0. 综上,有|A
*
|=|A|
n-1
成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/UuM4777K
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考研数学一
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