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  3. 设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明： (1)若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0； (2)｜A*｜＝｜A｜n-1．

设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明： (1)若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0； (2)｜A*｜＝｜A｜n-1．

admin2019-01-23  27
问题 设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：
    (1)若｜A｜＝0，则｜A*｜＝0；
    (2)｜A*｜＝｜A｜n-1．
选项
答案(1)(反证法)假设｜A*｜≠0，由矩阵可逆的充分必要条件可知A*是可逆矩阵，则有 A*(A*)-1＝E，又因为A*＝A-1｜A｜，这里｜A｜≠0，由此得 A＝AE＝AA*(A*)-1＝｜A｜E(A*)-1＝0， 所以A*＝0．这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜＝0时，有｜A*｜＝0． (2)由于AA*＝｜A｜E，两端同时取行列式得 ｜A｜｜A*｜＝｜A｜n． 当｜A｜≠0时，｜A*｜＝｜A｜n-1；当｜A｜＝0时，｜A*｜＝0． 综上，有｜A*｜＝｜A｜n-1成立．
解析
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考研数学一

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