设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫0xtf’(x-t)dt.求极限

admin2019-05-14  39

问题 设f(x)具有连续导数,且满足f(x)=x+∫0xtf’(x-t)dt.求极限

选项

答案由已知条件∫0xtf’(x-t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du-∫0xuf’(u)du.两边对x求导,得:f’(x)=1+∫0xf’(u)du+x f’(x)- x f’(x)=1+f(x)-f(0)= 1+f(x) (f(0)=0) 于是,f(x)=ex一1.所以[*]

解析 f(x)的表达式中含有参变量的积分,应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上,再求极限.∫0xtf’(x-t)dt0x(x-u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du-∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后,已知条件可化为:f(x)=x+x∫0xf’(u)du-∫0xuf’(u)du .
(1)本题的关键是求出f(x)的表达式.当已知条件是由积分方程给出时,通过求导可得出f(x)所满足的微分方程: f’(x)一f(x)=1,  f(0)=0.由通解公式,可得通解为:f(x)=e-∫(-1)dx[∫1.e∫(-1)dxdx+c]=cex-1  由f(0)=0,得f(x)=ex一1.一般地,一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为:y= e-∫p(x)dx[∫1.e∫p(x)dx+c]
(2)在计算含参变量的积分时,应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上,再作计算.
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