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  3. 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限

设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限

admin2019-05-14  95
问题 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限
选项
答案由已知条件∫0xtf’(x－t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．两边对x求导，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+x f’(x)－ x f’(x)=1+f(x)－f(0)= 1+f(x) (f(0)=0) 于是，f(x)=ex一1．所以[*]
解析 f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限．∫0xtf’(x－t)dt ∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du ．
(1)本题的关键是求出f(x)的表达式．当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出f(x)所满足的微分方程： f’(x)一f(x)=1，  f(0)=0．由通解公式，可得通解为：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1  由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为：y= e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c]
(2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算．
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