求方程y"+y’一2y=2cos2x的通解。

admin2018-05-25 87

问题求方程y"+y’一2y=2cos2x的通解。

选项

答案对应的齐次线性方程y"+y’一2y=0的特征方程为 λ²+λ一2=0．解得特征根为λ₁=一2，λ₂=1，因此，齐次线性方程的通解为 y=Cl e^-2x+C2e^x。由于β=2，iβ=2i不是特征根，因此，设非齐次线性方程的特解y^*=Acos2x+Bsin2x，对其求一阶、二阶导数，并代入原方程可得 (一2A+2B一4A)cos2x+(一2B一2A—4B)sin2x=2cos2x，比较两端相同项的系数可得 [*] 故原方程的通解为 y=C₁e^-2x+C₂e^x一[*]sin2x，其中C₁，C₂为任意常数。

解析

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