设矩阵A=,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵。

admin2021-01-25  39

问题 设矩阵A=,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵。

选项

答案方法一:由 |λE一A|=[*]=λ(λ一2)2, 可得A的特征值是λ12=2,λ3=0。 那么,kE+A的特征值是k+2,k+2,k,而B=(kE+A)2的特征值是(k+2)2,(k+2)2,k2。 又由题设知A是实对称矩阵,则AT=A,故 BT=[(kE+A)2]T=[(kE+A)T]2=(kE+A)2=B, 即B也是实对称矩阵,故B必可相似对角化,且 [*] 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵。 方法二:由 |λE一A|=[*]=λ(λ一2)2, 可得A的特征值是λ12=2,λ3=0。 因为A是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P使P-1AP=[*]P-1。 那么 B=(kE+A)2=(kPP-1+P[*]P-1)2=[P(kE+[*])P-1]2 =P(kE+[*])2P-1。 即P-1BP=(kE+[*]。 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵。

解析
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