2. 考研
  3. 设矩阵A=，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵。求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。

设矩阵A=，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵。求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。

admin2021-01-25  36
问题 设矩阵A=，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵。求对角矩阵A，使B与A相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。
选项
答案方法一：由 ｜λE一A｜=[*]=λ(λ一2)2， 可得A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=0。 那么，kE+A的特征值是k+2，k+2，k，而B=(kE+A)2的特征值是(k+2)2，(k+2)2，k2。 又由题设知A是实对称矩阵，则AT=A，故 BT=[(kE+A)2]T=[(kE+A)T]2=(kE+A)2=B， 即B也是实对称矩阵，故B必可相似对角化，且 [*] 当k≠一2且k≠0时，B的全部特征值大于零，这时B为正定矩阵。 方法二：由 ｜λE一A｜=[*]=λ(λ一2)2， 可得A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=0。 因为A是实对称矩阵，故存在可逆矩阵P使P-1AP=[*]P-1。 那么 B=(kE+A)2=(kPP-1+P[*]P-1)2=[P(kE+[*])P-1]2 =P(kE+[*])2P-1。 即P-1BP=(kE+[*]。 当k≠一2且k≠0时，B的全部特征值大于零，这时B为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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