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设矩阵A=,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵。
设矩阵A=,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵。
admin
2021-01-25
62
问题
设矩阵A=
,矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵。求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵。
选项
答案
方法一:由 |λE一A|=[*]=λ(λ一2)
2
, 可得A的特征值是λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0。 那么,kE+A的特征值是k+2,k+2,k,而B=(kE+A)
2
的特征值是(k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
。 又由题设知A是实对称矩阵,则A
T
=A,故 B
T
=[(kE+A)
2
]
T
=[(kE+A)
T
]
2
=(kE+A)
2
=B, 即B也是实对称矩阵,故B必可相似对角化,且 [*] 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵。 方法二:由 |λE一A|=[*]=λ(λ一2)
2
, 可得A的特征值是λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0。 因为A是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P使P
-1
AP=[*]P
-1
。 那么 B=(kE+A)
2
=(kPP
-1
+P[*]P
-1
)
2
=[P(kE+[*])P
-1
]
2
=P(kE+[*])
2
P
-1
。 即P
-1
BP=(kE+[*]。 当k≠一2且k≠0时,B的全部特征值大于零,这时B为正定矩阵。
解析
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考研数学三
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