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  3. 利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

admin2018-08-12  49
问题 利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
选项
答案由y=[*]=μsecx，得 y’=μ’secx+μsecxtanx， y’’=μ’’secx+2μ’secxtanx+μ(secxtan2x+sec3x)， 代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex，得 μ’’+4μ=ex。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为[*]=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2为任意常数)。 再求非齐次方程的特解。设其特解为μ*(x)=Aex，代入(*)式，得(Aex)’’+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex， 解得[*]ex。 故(*)的通解为 μ(x)=C1cos2x+C2sin2x+[*]ex(C1，C2为任意常数)。 所以，原微分方程的通解为 y=[*]。
解析
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考研数学二

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