利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

admin2018-08-12 21

问题利用代换y=

将方程y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解。

选项

答案由y=[*]=μsecx，得 y^’=μ^’secx+μsecxtanx， y^’’=μ^’’secx+2μ^’secxtanx+μ(secxtan²x+sec³x)，代入原方程y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x，得 μ^’’+4μ=e^x。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ²+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为[*]=C₁cos2x+C₂sin2x(C₁，C₂为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为μ^*(x)=Ae^x，代入(*)式，得(Ae^x)^’’+4Ae^x=Ae^x+4Ae^x=5Ae^x=e^x，解得[*]e^x。故(*)的通解为 μ(x)=C₁cos2x+C₂sin2x+[*]e^x(C₁，C₂为任意常数)。所以，原微分方程的通解为 y=[*]。

解析

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考研数学二

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