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  3. 设函数y＝f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则

设函数y＝f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则

admin2021-01-19  40
问题 设函数y＝f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则
选项 A、0＜dy＜Ay．   
B、0＜Ay＜dy．
C、Ay＜dy＜0．   
D、dy＜△y＜0．   
答案A
解析 [分析]  根据几何意义用图示法求解，也可用拉格朗日中值定理，或用泰勒公式．
    [详解1]  由f’(x)＞0,f"(x)＞0知，函数f(x)单凋增加，曲线y＝f(x)凹向，作函数y＝f(x)的图形如图1－2－2所示，显然当△x＞0时，
    △y＞dy＝f’(x0)dx＝f’(x0)△x＞0，故应选(A)．

[详解2]  根据拉格朗日中值定理，有
△y＝f(x0＋△x)－f(x0)＝f’(∈)△x，x0＜∈0｜△x．
因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调增加，即f’(ε)＞f’(x0)，又△x＞0，
则△y＝f’(∈)△x＞f’(x0)△x＝dy＞0，即0＜dy＜△y．故应选(A)．
[详解3]  由f’(x)＞0，f"(x)＞0，根据泰勒公式，有
f(x0＋△x)＝f(x0)＋f’(x0)△x＋f"(∈)(△x)2＞f(x0)＋f’(x0)△x，即△y＝f(x0＋△x)－f(x0)＞f’(x0)△x＝dy，又△x＞0．故应选(A)．
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考研数学二

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