2. 考研
  3. (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似。 (Ⅱ)设，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B。

(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似。 (Ⅱ)设，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B。

admin2021-01-31  76
问题 (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似。
    (Ⅱ)设，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B。
选项
答案(Ⅰ)设A，B的特征值为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 [*] 于是P1-1AP1=P2-1BP2，或(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B， 令P=P1P2-1，则P-1AP=B，即矩阵A，B相似。 (Ⅱ)(Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=(λ+1)(λ-1)2=0得λ1=-1，λ2=λ3=1； 由｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ-1)2=0得λ1=-1，λ2=λ3=1； [*] A的属于特征值λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为[*]， [*]
解析
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考研数学三

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