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(Ⅰ)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似。 (Ⅱ)设,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B。
(Ⅰ)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似。 (Ⅱ)设,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B。
admin
2021-01-31
83
问题
(Ⅰ)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似。
(Ⅱ)设
,求可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B。
选项
答案
(Ⅰ)设A,B的特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
, 因为A,B可相似对角化,所以存在可逆矩阵P
1
,P
2
,使得 [*] 于是P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
,或(P
1
P
2
-1
)
-1
A(P
1
P
2
-1
)=B, 令P=P
1
P
2
-1
,则P
-1
AP=B,即矩阵A,B相似。 (Ⅱ)(Ⅱ)由|λE-A|=[*]=(λ+1)(λ-1)
2
=0得λ
1
=-1,λ
2
=λ
3
=1; 由|λE-B|=[*]=(λ+1)(λ-1)
2
=0得λ
1
=-1,λ
2
=λ
3
=1; [*] A的属于特征值λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为[*], [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/V4x4777K
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考研数学三
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