2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组Ax＝0和Bx＝0，其中A，B均为m×c矩阵，现有4个命题： ①若Ax＝0的解均是Bx＝0的解，则R(A)≥R(B)； ②若R(A)≥R(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解； ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则R(A)＝R(B)； ④若R(

设有齐次线性方程组Ax＝0和Bx＝0，其中A，B均为m×c矩阵，现有4个命题： ①若Ax＝0的解均是Bx＝0的解，则R(A)≥R(B)； ②若R(A)≥R(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解； ③若Ax＝0与Bx＝0同解，则R(A)＝R(B)； ④若R(

admin2020-06-05  25
问题 设有齐次线性方程组Ax＝0和Bx＝0，其中A，B均为m×c矩阵，现有4个命题：
①若Ax＝0的解均是Bx＝0的解，则R(A)≥R(B)；
②若R(A)≥R(B)，则Ax＝0的解均是Bx＝0的解；
③若Ax＝0与Bx＝0同解，则R(A)＝R(B)；
④若R(A)＝R(B)，则Ax＝0与Bx＝0同解．
以上命题中，正确的有(    )．
选项 A、①②
B、①③
C、②④
D、③④
答案B
解析 由于线性方程组Ax＝0和Bx＝0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，即可得到正确选项为(B)．
下面证明①，③正确．
对于①，由Ax＝0的解均是Bx＝0的解可知，方程组Ax＝0的基础解系必可由Bx＝0的基础解系线性表示，也就是Ax＝0的基础解系包含解向量的个数不超过Bx＝0的基础解系包含解向量的个数，即n－R(A)≤n－R(B)，于是R(A)≥R(B)．
对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax＝0与Bx＝0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即n－R(A)＝n－R(B)，从而R(A)＝R(B)．
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考研数学一

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