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  3. 设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。

admin2018-12-29  22
问题 设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。
选项
答案因为3是A的特征值，故｜3E—A｜=8(3—y—1)=0，解得y=2于是 [*] 由于AT=A，要(AP)T(AP)=PTA2P=Λ，而A2=[*]是对称矩阵，即要A2～Λ， 故可构造二次型XTA2x，再将其化为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+532+[*]y4， 其中y1=x1，y2=x2，y3=x3+[*]x4，y4=x4，即 [*] 于是 (AP)T(AP)=PTA2P=[*]。
解析
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考研数学一

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