设矩阵，矩阵A～B，则r(A-E)+r(A-3E)=( )．

admin2021-07-27 41

问题设矩阵

，矩阵A～B，则r(A-E)+r(A-3E)=( )．

选项 A、6
B、7
C、5
D、4

答案A

解析由矩阵B的特征多项式

可得B的特征值为λ₁=0，λ₂=-2，λ₃=λ₄=3．因为A～B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值．又因为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵，从而，矩阵A也可相似于对角矩阵。所以，矩阵A的2重特征值λ₃=λ₄=3，对应地必有2个线性无关的特征向量．由此可知，r(3E-A)=n-2=4-2=2，即r(A-3E)=2，又因为λ=1不是矩阵A的特征值，故｜E-A｜≠0．所以，r(E-A)=4，即r(A-E)=4．因此r(A-E)+r(A-3E)=4+2=6．

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