2. 考研
  3. 设矩阵，矩阵A～B，则r(A-E)+r(A-3E)=( )．

设矩阵，矩阵A～B，则r(A-E)+r(A-3E)=( )．

admin2021-07-27  32
问题 设矩阵，矩阵A～B，则r(A-E)+r(A-3E)=(          )．
选项 A、6
B、7
C、5
D、4
答案A
解析 由矩阵B的特征多项式可得B的特征值为λ1=0，λ2=-2，λ3=λ4=3．因为A～B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值．又因为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵，从而，矩阵A也可相似于对角矩阵。所以，矩阵A的2重特征值λ3=λ4=3，对应地必有2个线性无关的特征向量．由此可知，r(3E-A)=n-2=4-2=2，即r(A-3E)=2，又因为λ=1不是矩阵A的特征值，故｜E-A｜≠0．所以，r(E-A)=4，即r(A-E)=4．因此r(A-E)+r(A-3E)=4+2=6．
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考研数学二

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