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设矩阵,矩阵A~B,则r(A-E)+r(A-3E)=( ).
设矩阵,矩阵A~B,则r(A-E)+r(A-3E)=( ).
admin
2021-07-27
41
问题
设矩阵
,矩阵A~B,则r(A-E)+r(A-3E)=( ).
选项
A、6
B、7
C、5
D、4
答案
A
解析
由矩阵B的特征多项式
可得B的特征值为λ
1
=0,λ
2
=-2,λ
3
=λ
4
=3.因为A~B,所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值.又因为B是实对称矩阵,故B可相似于对角矩阵,从而,矩阵A也可相似于对角矩阵。所以,矩阵A的2重特征值λ
3
=λ
4
=3,对应地必有2个线性无关的特征向量.由此可知,r(3E-A)=n-2=4-2=2,即r(A-3E)=2,又因为λ=1不是矩阵A的特征值,故|E-A|≠0.所以,r(E-A)=4,即r(A-E)=4.因此r(A-E)+r(A-3E)=4+2=6.
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考研数学二
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