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  3. 假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1)=1/8，P{X=1}=1/4，在事件{-1＜X＜1)出现的条件下，X在(-1，1)内的任意一个开子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求随机变量X的分布函数．

假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1)=1/8，P{X=1}=1/4，在事件{-1＜X＜1)出现的条件下，X在(-1，1)内的任意一个开子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求随机变量X的分布函数．

admin2020-05-02  12
问题 假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1)=1/8，P{X=1}=1/4，在事件{-1＜X＜1)出现的条件下，X在(-1，1)内的任意一个开子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求随机变量X的分布函数．
选项
答案当x＜-1时，由于X的绝对值不大于1，所以F(x)=P{X≤x}=0； 当-1＜x＜1时，由X的绝对值不大于1，则 P{｜X｜≤1)=P{X=-1}+P{-1＜X＜1}+P{X=1}=1 又因为P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4，所以P{-1＜X＜1}=5/8 另据已知条件，若-1＜a＜b＜1，则 P{a＜X＜b｜-1＜X＜1}=k(b-a) 显然，a=-1，b=1时，P{a＜X＜b｜-1＜X＜1}=1，所以k=1/2．从而 P{-1＜X＜x｜-1＜x＜1}=[*] 注意到，对于-1＜x＜1，有(-1，x)[*](-1，1)，因此 [*] 于是，当-1≤x＜1时，有 [*] 当x≥1时，F(x)=P{X≤x}=1． 故得所求分布函数为 [*] 名师评注:本题中随机变量既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，其概率分布只能通过分布函数的定义来计算．
解析 先求出当-1＜x＜1时，事件{-1＜X＜x}的概率是解答本题的关键，本题中的随机变量既不是离散型，也不是连续型，属于非离散型随机变量，似乎超出了教材范围．但只要理解分布函数的定义，也不难求解．
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考研数学一

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