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求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值.
求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值.
admin
2018-11-21
23
问题
求函数f(x)=
(2一t)e
-t
dt的最值.
选项
答案
由于f(x)是偶函数,我们只需考察x∈[0,+∞).由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2一x
2
)[*]. 解f’(x)=0得x=0与x=[*],于是 [*] 从而,f(x)的最大值是f([*])=∫
0
2
(2一t)e
-t
dt=一∫
0
2
(2一t)de
-t
=(t一2)e
-t
|
0
2
一∫
0
2
e
-t
dt =2+e
-t
|
0
2
=1+e
-2
. 由上述单调性分析,为求最小值,只需比较f(0)与[*]f(x)的大小.由于 [*]f(x)=∫
0
+∞
(2一t)e
-t
dt=[(t一2)e
-t
+e
-t
]||
0
+∞
=1>f(0)=0, 因此f(0)=0是最小值.
解析
f(x)的定义域是(一∞,+∞),由于它是偶函数,故只需考虑x∈[0,+∞).求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性.由于需要考察f(0)是否为最值,还需讨论极限值
f(x).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ypg4777K
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考研数学一
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