设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx

admin2018-09-25 63

问题设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：
(1)∫_a^a+Tf(x)dx=∫₀^Tf(x)dx(a为任意实数)；
(2)∫₀^xf(t)dt以T为周期<=>∫₀^Tf(x)dx=0；
(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T<=>∫₀^Tf(x)dx=0．

选项

答案(1) ∫_a^a+Tf(x)d=∫_a⁰f(x)dx+∫₀^Tf(x)dx+∫_T^T+af(x)dx，其中∫_T^T+af(x)dx=∫_T^T+af(x－T)dx[*]∫₀^af(s)ds=∫₀^af(x)dx．代入上式得∫_a^a+Tf(x)=∫_a⁰f(x)dx+∫₀^Tf(x)dx+∫₀^af(x)dx=∫₀^Tf(x)dx． (2)∫₀^xf(t)dt以T为周期<=>∫₀^x+Tf(t)dt－∫₀^xf(t)dt=∫_x^x+Tf(t)dt[*]∫₀^Tf(t)dt=0． (3)只需注意∫f(x)dx=∫₀^xf(t)dt+C，∫₀^xf(t)dt是f(x)的一个原函数．

解析

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考研数学一

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设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx

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