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设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx
设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx
admin
2018-09-25
57
问题
设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：
(1)∫
a
a+T
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx(a为任意实数)；
(2)∫
0
x
f(t)dt以T为周期<=>∫
0
T
f(x)dx=0；
(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T<=>∫
0
T
f(x)dx=0．
选项
答案
(1) ∫
a
a+T
f(x)d=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
T
T+a
f(x)dx， 其中∫
T
T+a
f(x)dx=∫
T
T+a
f(x－T)dx[*]∫
0
a
f(s)ds=∫
0
a
f(x)dx． 代入上式得∫
a
a+T
f(x)=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
0
a
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx． (2)∫
0
x
f(t)dt以T为周期<=>∫
0
x+T
f(t)dt－∫
0
x
f(t)dt=∫
x
x+T
f(t)dt[*]∫
0
T
f(t)dt=0． (3)只需注意∫f(x)dx=∫
0
x
f(t)dt+C，∫
0
x
f(t)dt是f(x)的一个原函数．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Vqg4777K
0
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