设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0.求f(x).

admin2022-08-19 74

问题设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f′(x)+3∫₀^xf′(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^-x=0.求f(x).

选项

答案因为x∫₀¹f(tx)dt=∫₀^xf(u)du，所以f′(x)+3∫₀^xf′(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^-x=0可化为 f′(x)+3∫₀^xf′(t)dt+2∫₀^xf(t)dt+e^-x=0，两边对x求导得f″(x)+3f′(x)+2f(x)=e^-x，由λ²+3λ+2=0得λ₁=-1，λ₂=-2，则方程f″(x)+3f′(x)+2f(x)=0的通解为C₁e^-x+C₂e^-2x. 令f″(x)+3f′(x)+2f(x)=e^-x的一个特解为y₀=axe^-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^-2x+xe^-x. 由f(0)=1，f′(0)=-1得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为f(x)=e^-2x+xe^-x.

解析

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考研数学三

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