设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0.求f(x).

admin2022-08-19  54

问题 设函数f(x)二阶连续可导,f(0)=1且有f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0.求f(x).

选项

答案因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du,所以f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0可化为 f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0, 两边对x求导得f″(x)+3f′(x)+2f(x)=e-x, 由λ2+3λ+2=0得λ1=-1,λ2=-2, 则方程f″(x)+3f′(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x. 令f″(x)+3f′(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x,代入得a=1, 则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x. 由f(0)=1,f′(0)=-1得C1=0,C2=1,故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x.

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VtR4777K
0

最新回复(0)