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  3. 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0.求f(x).

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0.求f(x).

admin2022-08-19  120
问题 设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0.求f(x).
选项
答案因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0可化为 f′(x)+3∫0xf′(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0， 两边对x求导得f″(x)+3f′(x)+2f(x)=e-x， 由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2， 则方程f″(x)+3f′(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x. 令f″(x)+3f′(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1， 则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x. 由f(0)=1，f′(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x.
解析
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考研数学三

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