设二次型x12+x22+x32一4x1x2—4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+6y32，求a，b的值及所用正交变换．

admin2016-03-05 470

问题设二次型x₁²+x₂²+x₃²一4x₁x₂—4x₁x₃+2ax₂x₃经正交变换化为3y₁²+3y₂²+6y₃²，求a，b的值及所用正交变换．

选项

答案二次型及其标准形的矩阵分别是[*]由于是用正交变换化为标准形，故A与B不仅合同而且相似．那么有1+1+1=3+3+b得b=一3．对λ=3，则有[*]由(3E—A)x=0，得特征向量α₁=(1，一1，0)^T，α₂=(1，0，一1)^T．对λ=一3，由(一3E—A)x=0，得特征向量α₃=(1，1，1)^T．因为λ=3是二重特征值，对α₁，α₂正交化有[*]经正交交换x=Cy，二次型化为3y₁²+3y₂²一3y₃²．

解析

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