设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈(-∞，+∞)，记Y=｜X｜，EX存在，则X与Y( )

admin2022-04-27 70

问题设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈(-∞，+∞)，记Y=｜X｜，EX存在，则X与Y( )

选项 A、不相关且独立．
B、相关且不独立．
C、不相关且不独立．
D、相关且独立．

答案C

解析由f(x)是偶函数，知EX=∫_-∞^+∞xf(x)dx=0，且
E(XY)=E(X｜X｜)=∫_-∞^+∞x｜x｜f(x)dx=0，
故E(XY)=EX·EY，即X与Y不相关．
又由f(x)是偶函数，知存在x₀＞0，使得当P{X＜x₀}＜1时，有
{Y＜x₀)={｜X｜＜x₀}

{X＜x₀}，
故
P{X＜x₀，Y＜x₀}=P{Y＜x₀)，
P{X＜x₀}·P{Y＜x₀}＜P{Y＜x₀}，
从而
P{X＜x₀}，Y＜x₀}≠P{X＜x₀}·P{Y＜x₀)，
即X与Y不独立．C正确．

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