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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,若f(x)在[0,1]上的最大值为M>0。设n>1,证明: 存在互不相同的ξ,η∈(0,1),使得1/f’(ξ)-1/f’(η)=n/M。
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,若f(x)在[0,1]上的最大值为M>0。设n>1,证明: 存在互不相同的ξ,η∈(0,1),使得1/f’(ξ)-1/f’(η)=n/M。
admin
2019-12-24
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,若f(x)在[0,1]上的最大值为M>0。设n>1,证明:
存在互不相同的ξ,η∈(0,1),使得1/f’(ξ)-1/f’(η)=n/M。
选项
答案
在[0,c],[c,1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,则存在ξ∈(0,c)和η∈(c,1),使得 f(c)-f(0)=cf’(ξ) ① f(1)-f(c)=(1-c)f’(η) ② 由①·f’(η)+②·f’(ξ),结合f(0)=f(1)=0可得 [f’(η)-f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η), 再由结论f(c)=M/n可知 [f’(η)-f’(ξ)]M/n=f’(ξ)f’(η), 且1/f’(ξ)-1/f’(η)=n/M。
解析
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考研数学三
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