设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。

admin2019-12-24 47

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：
存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。

选项

答案在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得 f(c)－f(0)＝cf’(ξ) ① f(1)－f(c)＝(1－c)f’(η) ② 由①·f’(η)＋②·f’(ξ)，结合f(0)＝f(1)＝0可得 [f’(η)－f’(ξ)]f(c)＝f’(ξ)f’(η)，再由结论f(c)＝M／n可知 [f’(η)－f’(ξ)]M／n＝f’(ξ)f’(η)，且1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。

解析

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考研数学三

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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得1／f’(ξ)－1／f’(η)＝n／M。

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