2. 考研
  3. f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2015-08-14  36
问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在[0，1]上连续，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M． 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x1)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x，积分得f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx [*] 因为f’(x)存[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2][*][0，1]，或ξ∈[x2，x1][*][0，1]， 使f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WM34777K
0

考研数学二

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)