已知矩阵A的伴随阵A*＝diag(1，1，1，8)，且ABA-1＝BA-1＋3E，求B．

admin2016-05-09 71

问题已知矩阵A的伴随阵A^*＝diag(1，1，1，8)，且ABA^-1＝BA^-1＋3E，求B．

选项

答案由题意可知A^-1存在，A^*＝｜A｜A^-1两端取行列式可得｜A^*｜＝｜A｜⁴｜A^-1｜＝｜A｜³，因为A^*＝diag(1，1，1，8)，所以｜A^*｜＝8，即｜A｜＝2．由ABA^-1＝BA^-1＋3E移项并提取公因式得，(A－E)BA^-1＝3E，右乘A得(A－E)B＝3A，左乘A^-1得(E－A^-1)B＝3E．由已求结果｜A｜＝2，知 [*] 得(E－A^-1)＝diag(2，2，2，－[*])，因此B＝3(E－A^-1)^-1＝3diag(2，2，2，－[*])＝diag(6，6，6，－1)．

解析

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考研数学一

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