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求正数a,b的值,使得椭圆包含圆x2+y2=2y,且面积最小.
求正数a,b的值,使得椭圆包含圆x2+y2=2y,且面积最小.
admin
2021-08-02
108
问题
求正数a,b的值,使得椭圆
包含圆x
2
+y
2
=2y,且面积最小.
选项
答案
[*] 如图1-13-1所示,所求椭圆必须包含圆x
2
+y
2
=2y.并与之相切. 故在椭圆上的任意一点(x,y)处满足f(x,y)=x
2
+(y—1)
2
≥1.这就是说函数f(x,y)=x
2
+(y—1)
2
在椭圆方程x
2
/a
2
+y
2
/b
2
的约束下取得最小值1.于是考虑条件极值问题: [*] 构造拉格朗日函数 [*] 若x≠0,则由①可解得λ=—a
2
;再由②可解得y
0
=b
2
/b
2
—a
2
并由③解得 [*] a
2
b
2
一a
4
一b
2
=0(b
2
一a
2
=0,舍去). 为了求出a,b的值,使与之对应的椭圆面积πab达到最小值,考查条件极值问题 [*] 由④,⑤得[*],从而b
2
=2a
4
.将此式代入a
2
b
2
一a
4
一b
2
=0,得到2a
6
—3a
4
=0,于是[*],此时椭圆面积A
1
=πab=[*] 若x=0,则由x
2
/a
2
+y
2
/b
2
解得y=b.将x=0,y=b代入x
2
+(y—1)
2
=1,于是b=2.下面来求a. 椭圆x
2
/a
2
+y
2
/4=1在(0,2)有水平切线,并且曲率和圆x
2
+(y一1)
2
=1的曲率相同,所以 y’(0)=0,y”(0)=一1. 但是,由方程x
2
/a
2
+y
2
/4可以计算在该点的y’(0)=0,y”(0)=—2/a
2
,所以2/a
2
=1,即a=[*]此时,椭圆的面积[*] 综上所述,当[*]时,椭圆面积最小.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WWy4777K
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考研数学二
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