2. 考研
  3. 求正数a，b的值，使得椭圆包含圆x2+y2=2y，且面积最小．

求正数a，b的值，使得椭圆包含圆x2+y2=2y，且面积最小．

admin2021-08-02  66
问题 求正数a，b的值，使得椭圆包含圆x2+y2=2y，且面积最小．
选项
答案[*] 如图1-13-1所示，所求椭圆必须包含圆x2+y2=2y．并与之相切. 故在椭圆上的任意一点(x，y)处满足f(x，y)=x2+(y—1)2≥1．这就是说函数f(x,y)=x2+(y—1)2在椭圆方程x2/a2+y2/b2的约束下取得最小值1.于是考虑条件极值问题： [*] 构造拉格朗日函数 [*] 若x≠0,则由①可解得λ=—a2；再由②可解得y0=b2/b2—a2并由③解得 [*] a2b2一a4一b2=0(b2一a2=0，舍去)． 为了求出a，b的值，使与之对应的椭圆面积πab达到最小值，考查条件极值问题 [*] 由④，⑤得[*]，从而b2=2a4．将此式代入a2b2一a4一b2=0，得到2a6—3a4=0，于是[*]，此时椭圆面积A1=πab=[*] 若x=0，则由x2/a2+y2/b2解得y=b．将x=0，y=b代入x2+(y—1)2=1，于是b=2．下面来求a． 椭圆x2/a2+y2/4=1在(0，2)有水平切线，并且曲率和圆x2+(y一1)2=1的曲率相同，所以 y’(0)=0，y”(0)=一1． 但是，由方程x2/a2+y2/4可以计算在该点的y’(0)=0，y”(0)=—2/a2，所以2/a2=1，即a=[*]此时，椭圆的面积[*] 综上所述，当[*]时，椭圆面积最小．
解析
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考研数学二

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