求正数a,b的值,使得椭圆包含圆x2+y2=2y,且面积最小.

admin2021-08-02  46

问题 求正数a,b的值,使得椭圆包含圆x2+y2=2y,且面积最小.

选项

答案[*] 如图1-13-1所示,所求椭圆必须包含圆x2+y2=2y.并与之相切. 故在椭圆上的任意一点(x,y)处满足f(x,y)=x2+(y—1)2≥1.这就是说函数f(x,y)=x2+(y—1)2在椭圆方程x2/a2+y2/b2的约束下取得最小值1.于是考虑条件极值问题: [*] 构造拉格朗日函数 [*] 若x≠0,则由①可解得λ=—a2;再由②可解得y0=b2/b2—a2并由③解得 [*] a2b2一a4一b2=0(b2一a2=0,舍去). 为了求出a,b的值,使与之对应的椭圆面积πab达到最小值,考查条件极值问题 [*] 由④,⑤得[*],从而b2=2a4.将此式代入a2b2一a4一b2=0,得到2a6—3a4=0,于是[*],此时椭圆面积A1=πab=[*] 若x=0,则由x2/a2+y2/b2解得y=b.将x=0,y=b代入x2+(y—1)2=1,于是b=2.下面来求a. 椭圆x2/a2+y2/4=1在(0,2)有水平切线,并且曲率和圆x2+(y一1)2=1的曲率相同,所以 y’(0)=0,y”(0)=一1. 但是,由方程x2/a2+y2/4可以计算在该点的y’(0)=0,y”(0)=—2/a2,所以2/a2=1,即a=[*]此时,椭圆的面积[*] 综上所述,当[*]时,椭圆面积最小.

解析
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