证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A=abT．

admin2016-03-05 83

问题证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量b^T，使A=ab^T．

选项

答案充分性：设a=(a₁，a₂，…，a_m)^T，b=(b₁，b₂，…，b_m)^T，设a₁b₁≠0，根据矩阵秩的性质r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，因为A=ab^T，所以r(A)≤r(A)=1．另一方面，根据假设a₁b₁≠0可知，A的第一行第一列的元素a₁b₁≠0，所以r(A)≥1．综上所述r(A)=1．必要性：设A=(a_ij)_m×n，因r(A)=1，设a₁₁≠0，由矩阵的等价可知，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使[*]

解析

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