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设n阶方阵A≠0,满足Am=0(其中m为某正整数). 证明:|E+A|=1.
设n阶方阵A≠0,满足Am=0(其中m为某正整数). 证明:|E+A|=1.
admin
2017-06-14
65
问题
设n阶方阵A≠0,满足A
m
=0(其中m为某正整数).
证明:|E+A|=1.
选项
答案
要证明|E+A|=l,由特征值的性质知,只要证明E+A的特征值全部为1即可. 设λ为E+A的任一特征值,x为对应的特征向量,则有(E+A)x=λx,即Ax=(λ-1)x,故λ-1为A的特征值,(1)中已证A的特征值全为零,故有λ-1=0,得λ=1,由λ的任意性知E+A的特征值全为1,因此E+A的全部特征值的乘积等于1,即|E+A|=1.
解析
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考研数学一
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