设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)．证明：｜E+A｜=1．

admin2017-06-14 40

问题设n阶方阵A≠0，满足A^m=0(其中m为某正整数)．
证明：｜E+A｜=1．

选项

答案要证明｜E+A｜=l，由特征值的性质知，只要证明E+A的特征值全部为1即可．设λ为E+A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有(E+A)x=λx，即Ax=(λ－1)x，故λ－1为A的特征值，(1)中已证A的特征值全为零，故有λ－1=0，得λ=1，由λ的任意性知E+A的特征值全为1，因此E+A的全部特征值的乘积等于1，即｜E+A｜=1．

解析

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