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[2002年] 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy. 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登
[2002年] 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy. 现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登
admin
2019-04-08
59
问题
[2002年] 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x
2
+y
2
一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x
2
一y
2
+xy.
现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界线x
2
+y
2
-xy=75上找出使上一题中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
选项
答案
所求的攀登起点(x,y)是二元函数[*]满足75一x
2
一y
2
+xy=0的极大值点.此为条件极值问题. 由于待求极值的函数g(x,y)比较复杂,可采用平方的方法将函数g(x,y)转化为极值点易求的函数求之.显然,直接求函数[*]的极值点比较复杂.由于g
2
(x,y)与g(x,y)同在相等的点取极值,故下面用求g
2
(x,y)的极值点代替求g(x,y)的极值点.为此,构造拉格朗日函数: F(x,y,λ)=g
2
(x,y)+λh(x,y)=5x
2
+5y
2
-8xy+λ(75-x
2
-y
2
+xy), 则 [*] 将式①乘以(x一2y),式②乘以(y一2x),比较两式,可得 (10x-8y)(x-2y)=(10y-8x)(y一2x), y
2
=x
2
, y=±x. 将y=±x代入式③得75-2x
2
±x
2
=0.因此[*],x=±5.相应地,[*],y=±5. 于是得到4个可能的极值点: [*] M
3
(5,一5), M
4
(一5,5). 因为g(M
1
)=g(M
2
)=150,g(M
3
)=g(M
4
)=450,所以M
3
(5,一5)和M
4
(一5,5)可作为攀登的起点.
解析
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考研数学一
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