2. 考研
  3. [2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy． 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登

[2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy． 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登

admin2019-04-08  64
问题 [2002年]  设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．
现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使上一题中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
选项
答案所求的攀登起点(x，y)是二元函数[*]满足75一x2一y2+xy=0的极大值点．此为条件极值问题． 由于待求极值的函数g(x，y)比较复杂，可采用平方的方法将函数g(x，y)转化为极值点易求的函数求之．显然，直接求函数[*]的极值点比较复杂．由于g2(x，y)与g(x，y)同在相等的点取极值，故下面用求g2(x，y)的极值点代替求g(x，y)的极值点．为此，构造拉格朗日函数： F(x，y，λ)=g2(x，y)+λh(x，y)=5x2+5y2-8xy+λ(75-x2-y2+xy)， 则 [*] 将式①乘以(x一2y)，式②乘以(y一2x)，比较两式，可得 (10x-8y)(x-2y)=(10y-8x)(y一2x)， y2=x2， y=±x． 将y=±x代入式③得75-2x2±x2=0．因此[*]，x=±5．相应地，[*]，y=±5． 于是得到4个可能的极值点： [*] M3(5，一5)， M4(一5，5)． 因为g(M1)=g(M2)=150，g(M3)=g(M4)=450，所以M3(5，一5)和M4(一5，5)可作为攀登的起点．
解析
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考研数学一

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