以下3个命题: ①若数列{un}收敛于A,则其任意子数列{uni}必定收敛于A; ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A,则该数列必定收敛于A; ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A,则数列{xn}必定收敛于A 正确的个数为 (

admin2019-03-11  54

问题 以下3个命题:
①若数列{un}收敛于A,则其任意子数列{uni}必定收敛于A;
②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A,则该数列必定收敛于A;
③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A,则数列{xn}必定收敛于A
正确的个数为    (    )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案D

解析 对于命题①,由数列收敛的定义可知,若数列{un}收敛于A,则对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n>N时,恒有
|un-A|<ε,
则当ni>N时,恒有

因此数列也收敛于A,可知命题正确.
对于命题②,不妨设数列{xn}为单调增加的,即
x1≤x2≤…≤xn≤…,
其中某一给定子数列收敛于A,则对任意给定的ε>0,存在自然数N,当ni>N时,恒有

由于数列{xn}为单调增加的数列,对于任意的n>N,必定存在ni≤n≤ni+1,有

从而 |xn-A|<ε.
可知数列{xn}收敛于A因此命题正确.
对于命题③,因,由极限的定义可知,对于任意给定的ε>0,必定存在自然数N1,N2
当2n>N1时,恒有|x2n-A|<ε;
当2n+1>N2时,恒有|x2n+1-A|<ε.
取N=max{N1,N2},则当n>N时,总有|xn-A|<ε.
因此=A可知命题正确.
故答案选择(D).
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