2. 考研
  3. 以下3个命题： ①若数列｛un｝收敛于A，则其任意子数列｛uni｝必定收敛于A； ②若单调数列｛xn｝的某一子数列｛xni｝收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列｛x2n｝与｛x2n+1｝都收敛于A，则数列｛xn｝必定收敛于A 正确的个数为 (

以下3个命题： ①若数列｛un｝收敛于A，则其任意子数列｛uni｝必定收敛于A； ②若单调数列｛xn｝的某一子数列｛xni｝收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列｛x2n｝与｛x2n+1｝都收敛于A，则数列｛xn｝必定收敛于A 正确的个数为 (

admin2019-03-11  106
问题 以下3个命题：
①若数列｛un｝收敛于A，则其任意子数列｛uni｝必定收敛于A；
②若单调数列｛xn｝的某一子数列｛xni｝收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列｛x2n｝与｛x2n+1｝都收敛于A，则数列｛xn｝必定收敛于A
正确的个数为    (    )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列｛un｝收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有
｜un－A｜＜ε，
则当ni＞N时，恒有

因此数列也收敛于A，可知命题正确．
对于命题②，不妨设数列｛xn｝为单调增加的，即
x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有

由于数列｛xn｝为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有

从而 ｜xn－A｜＜ε．
可知数列｛xn｝收敛于A因此命题正确．
对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：
当2n＞N1时，恒有｜x2n－A｜＜ε；
当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．
取N=max｛N1，N2｝，则当n＞N时，总有｜xn－A｜＜ε．
因此=A可知命题正确．
故答案选择(D)．
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考研数学三

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