设f(x)是在(－∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程在任何长度为的闭区间上至少有一个实根．

admin2019-02-20 35

问题设f(x)是在(－∞，+∞)上连续且以T为周期的周期函数，求证：方程

在任何长度为

的闭区间上至少有一个实根．

选项

答案[*]a∈(－∞，+∞)，考虑闭区间[*]作辅助函数[*]则 [*] 由f(x)的周期性，有 [*] 于是，若[*]则x=a，[*]均为方程F(x)=0的根；若[*]则有[*]又F(x)在[*]上连续，由闭区间上连续函数的零值定理知，至少存在一点[*]使F(ξ)=0．故方程[*]在任何长度为[*]的闭区间上至少有一个实根．

解析

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