设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）

admin2017-12-29 24

问题设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）

选项 A、A+B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A^*+B^*是对称矩阵
D、A一2B是对称矩阵

答案B

解析由题设条件，则
（A+B）^T=A^T+B^T=A+B（kB）^T=kB^T=kB，
所以有
（A一2B）^T=A^T一（2B^T）=A一2B，
从而选项A、D是正确的。
首先来证明（A^*）^T=（A^T）^*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。（A^*）^T在位置（i，j）的元素等于A^*在（j，i）位置的元素，且为元素a_ij的代数余子式A_ij。而矩阵（A^T）^*在（i，j）位置的元素等于A^T的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即a_ji=a_ij，则该元素仍为元素a_ij的代数余子式A_ij。从而（A^*）^T=（A^T）^*=A^*，故A^*为对称矩阵，同理，B^*也为对称矩阵。结合选项A可知选项C是正确的。
因为（AB）^T=B^TA^T=BA，从而选项B不正确。
注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
所以应选B。

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考研数学三

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