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设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（ ）
设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（ ）
admin
2017-12-29
34
问题
设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（ ）
选项
A、A+B是对称矩阵
B、AB是对称矩阵
C、A
*
+B
*
是对称矩阵
D、A一2B是对称矩阵
答案
B
解析
由题设条件，则
（A+B）
T
=A
T
+B
T
=A+B（kB）
T
=kB
T
=kB，
所以有
（A一2B）
T
=A
T
一（2B
T
）=A一2B，
从而选项A、D是正确的。
首先来证明（A
*
）
T
=（A
T
）
*
，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。（A
*
）
T
在位置（i，j）的元素等于A
*
在（j，i）位置的元素，且为元素a
ij
的代数余子式A
ij
。而矩阵（A
T
）
*
在（i，j）位置的元素等于A
T
的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即a
ji
=a
ij
，则该元素仍为元素a
ij
的代数余子式A
ij
。从而（A
*
）
T
=（A
T
）
*
=A
*
，故A
*
为对称矩阵，同理，B
*
也为对称矩阵。结合选项A可知选项C是正确的。
因为（AB）
T
=B
T
A
T
=BA，从而选项B不正确。
注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。
所以应选B。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XUX4777K
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考研数学三
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