2. 考研
  3. 设f(χ)是周期为3的连续函数，f(χ)在点χ＝1处可导，且满足恒等式 f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)， 其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量．求曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程．

设f(χ)是周期为3的连续函数，f(χ)在点χ＝1处可导，且满足恒等式 f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)， 其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量．求曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程．

admin2018-06-12  99
问题 设f(χ)是周期为3的连续函数，f(χ)在点χ＝1处可导，且满足恒等式
    f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)＝26χ＋g(χ)，
    其中g(χ)当χ→0时是比χ高阶的无穷小量．求曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程．
选项
答案曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程是 y＝f(4)＋f′(4)(χ－4)． 由f(χ)的周期性以及f(χ)在χ＝1处的可导性知f(4)＝f(1)，f′(4)：f′(1)，代入即得所求切线方程为 y＝f(1)＋f′(1)(χ－4)． 由f(χ)的连续性可知 [*][f(1＋tanχ)－4f(1－3tanχ)]＝[*][26χ＋g(χ)] [*]f(1)－4f(1)＝0[*]f(1)＝0． 再由f(χ)在χ＝1处的可导性与f(1)＝0可得 [*] 在①式左端中作换元tanχ＝t，则有 [*] 而①式右端 [*] 从而有f′(1)＝2． 于是曲线y＝f(χ)在点(4，f(4))处的切线方程为y＝2(χ－4)，即y＝2χ－8．
解析
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考研数学一

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