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  3. [2016年] 设矩阵，且方程组AX=β无解． (I)求a的值；(Ⅱ)求方程组ATAX=ATβ的通解．

[2016年] 设矩阵，且方程组AX=β无解． (I)求a的值；(Ⅱ)求方程组ATAX=ATβ的通解．

admin2019-05-10  31
问题 [2016年]  设矩阵，且方程组AX=β无解．
(I)求a的值；(Ⅱ)求方程组ATAX=ATβ的通解．
选项
答案AX=β无解．由命题2．4．1．2(1)知秩(A)≠秩([*])，而[*]为3×4矩阵，其秩最大为3.因而A的秩不可能等于3，即秩(A)≤2，故∣A∣=0，由此可确定a的值．求出a的值后，再按通解的求法求出要求的通解． (I)由∣A∣=[*] =1·(一1)1+2[*]=a2一2a=a(a一2)=0． 得到a=0或a=2． 当a=0时，[*]，秩([*])≠秩(A)，故当 a=0时，AX=β无解． 当a=2时，[*],秩([*])=2＜3， 故当a=2时，AX=β有解． 因而当a=0时，AX=β无解． (Ⅱ)当a=0时，[*] 则 [ATA:ATβ]=[*] 由基础解系和特解的简便求法知，ATAX=0的基础解系为α=[一1，2，1]T，ATAX=β的特解为y=[1，一2，0]T，故其通解为kα+γ(k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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