设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm—1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm—1，β．则

admin2019-07-12 39

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m—1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，…，α_m—1，β．则

选项 A、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、α_m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、α_m可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．

答案B

解析由条件，存在常数k₁，…，k_m—1，k_m，使β=k₁α₁+k_m—1α_m—1+…+k_mα_m…(*)，且k_m必有k_m≠0(否则，β=k₁α₁+k_m—1α_m—1，这与β不能由(Ⅰ)线性表示矛盾)，于是由(*)式解得α_m=一

α_m—1，即α_m可由(Ⅱ)线性表示．但α_m不能由(Ⅰ)线性表示，否则．存在常数λ₁，…，λ_m—1，使α_m=λ₁α₁+α_m—1α_m—1，代入(*)式，得β=(k₁+λ₁)α₁+…+(k_m—1+λ_m—1)α_m—1，这与β不能由(Ⅰ)线性表示矛盾，所以α_m不能由(Ⅰ)线性表示．综上可知只有(B)正确．

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