设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).

admin2022-10-13 70

问题设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x,求f(x).

选项

答案等式两边对x求导可得g[f(x)]f’(x)=2xe^x+x²e^x,而g[f(x)]=x，故 xf’(x)=2xe^x+x²e^x 当x≠0时，f’(x)=2e^x+xe^x,积分得 f(x)=(x+1)e^x+C 由于f(x)在x=0处连续，故由 [*] 得C=－1,因此f(x)=(x+1)e^x－1.

解析

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