设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).

admin2022-10-13 64

问题设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x,求f(x).

选项

答案等式两边对x求导可得g[f(x)]f’(x)=2xe^x+x²e^x,而g[f(x)]=x，故 xf’(x)=2xe^x+x²e^x 当x≠0时，f’(x)=2e^x+xe^x,积分得 f(x)=(x+1)e^x+C 由于f(x)在x=0处连续，故由 [*] 得C=－1,因此f(x)=(x+1)e^x－1.

解析

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考研数学三

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设随机变量(X，Y)在区域D＝{(x，Y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，令求(U，V)的联合分布；
求下列曲线所围成的图形的面积：(1)x2＋3y2＝6y与直线y＝x(两部分都要计算)；(2)y＝1／x与直线y＝x及x＝2；(3)y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb(b＞a＞0)；(5)x＝2y－y2与y＝2＋x；(6)y＝2x与直线
设一抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．
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已知g(x)=∫0xf(t)dt,f’(x)sinxdx=2,f()=3,则g(x)sinxdx=________.
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