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  3. 设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).

设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).

admin2022-10-13  61
问题 设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).
选项
答案等式两边对x求导可得g[f(x)]f’(x)=2xex+x2ex,而g[f(x)]=x，故 xf’(x)=2xex+x2ex 当x≠0时，f’(x)=2ex+xex,积分得 f(x)=(x+1)ex+C 由于f(x)在x=0处连续，故由 [*] 得C=－1,因此f(x)=(x+1)ex－1.
解析
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考研数学三

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