设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx.

admin2022-08-19 46

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x-t)dt=1/2arctanx²，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx.

选项

答案[*]

解析由∫₀^xtf(2x-t)dt

423∫_2x^x(2x-u)f(u)(-du)
=∫_x^2x(2x-u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du-∫_x^2xuf(u)du，
得2x∫_x^2xf(u)du-∫_x^2xuf(u)du=1/2arctanx²，等式两边对x求导得
2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=x/(1+x⁴)，整理得
2∫_x^2xf(u)du-xf(x)=x/(1+x⁴)，
取x=1得2∫₁²f(u)du-f(1)=1/2，故∫₁²f(x)dx=3/4.

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